그래프의 꼭짓점은 곡선의 가장 낮은 점 또는 가장 높은 점이다. 아래로 볼록이면 거기서 $y$ 값이 가장 작고(최솟값), 위로 볼록이면 거기서 가장 크다(최댓값). 꼭짓점 = 극값. 이것이 모든 최댓값·최솟값 문제의 출발점.
꼭짓점이 곧 최댓값 또는 최솟값
두 가지 경우
아래로 볼록
꼭짓점이 가장 낮은 점.
최댓값은 존재하지 않음 (그래프가 위로 무한히 올라감).
위로 볼록
꼭짓점이 가장 높은 점.
최솟값은 존재하지 않음 (그래프가 아래로 무한히 내려감).
표준형 $y = a(x-p)^2 + q$ — 즉시 읽기
꼭짓점 $(p, q)$ → 극값은 $q$
$a > 0$ : 최솟값 $q$ (꼭짓점에서)
$a < 0$ : 최댓값 $q$ (꼭짓점에서)
- 예) $y = 2(x-1)^2 + 3$ → $a>0$ → 최솟값 3
- 예) $y = -(x+2)^2 + 5$ → $a<0$ → 최댓값 5
- 예) $y = -3(x-4)^2 - 7$ → $a<0$ → 최댓값 -7
일반형 $y = ax^2 + bx + c$ — 변환 후 읽기
완전제곱식 변환 → 표준형 → 극값
일반형에서는 꼭짓점이 직접 보이지 않으므로, Ⅳ-1.4에서 배운 완전제곱식 변환을 먼저 수행한다.
$a = 1 > 0$ → 아래로 볼록 → 최솟값 존재
$x$ 의 범위가 제한된 경우
범위 안에 꼭짓점이 있는지 먼저 본다
$\alpha \leq x \leq \beta$ 같은 제한이 있을 때, 그래프 전체가 아니라 그 범위 안에서만 최대·최소를 찾는다. 핵심은 — 꼭짓점이 범위 안에 있는지 여부.
경우 1 — 꼭짓점이 범위 안에 있음
꼭짓점의 $y$ 값과 양 끝점($x=\alpha, x=\beta$)에서의 $y$ 값을 모두 계산해 비교.
경우 2 — 꼭짓점이 범위 밖에 있음
범위 안에서 함수가 단조증가 또는 단조감소 → 양 끝점 중 하나가 최대, 다른 하나가 최소.
예제 — $y = x^2 - 4x + 5$ ($0 \leq x \leq 3$) 의 최댓값과 최솟값
$0 \leq 2 \leq 3$ → 안에 있음 → 꼭짓점도 후보
꼭짓점 $x=2$ : $y = 1$
왼끝 $x=0$ : $y = 0-0+5 = 5$
오른끝 $x=3$ : $y = 9-12+5 = 2$
최대·최소 계산기
일반형 $y = ax^2 + bx + c$ 의 계수를 입력하면 표준형과 극값을 자동 계산한다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$y = x^2 - 4x + 5$ 의 최댓값 또는 최솟값을 구하라.
- $y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$
- 꼭짓점 $(2, 1)$
- $a = 1 > 0$ → 아래로 볼록 → 꼭짓점에서 최솟값
- 결과 → 최솟값 $1$ ($x = 2$ 일 때), 최댓값 없음
$y = -2x^2 + 4x + 3$ 의 최댓값을 구하라.
- $y = -2(x^2 - 2x) + 3$
- $= -2(x^2 - 2x + 1) + 2 + 3$ (괄호 밖으로 빼낼 때 $-2$ 곱: $-2 \cdot (-1) = +2$)
- $= -2(x - 1)^2 + 5$
- 꼭짓점 $(1, 5)$, $a < 0$ → 위로 볼록
- 결과 → 최댓값 $5$ ($x = 1$ 일 때), 최솟값 없음
난이도별 연습 8문제
$y = 2(x-3)^2 - 1$ 의 최솟값을 구하라.
$y = -(x+1)^2 + 4$ 의 최댓값을 구하라.
$y = x^2 - 8$ 의 최솟값을 구하라.
$y = x^2 + 4x + 1$ 의 최솟값을 구하라.
$y = -x^2 + 6x - 5$ 의 최댓값을 구하라.
$y = 2x^2 - 8x + 11$ 의 최솟값을 구하라.
$y = x^2 - 4x + 5$, $0 \leq x \leq 3$ 에서의 최댓값을 구하라.
$y = -x^2 + 2x + 3$, $-1 \leq x \leq 2$ 에서의 최솟값을 구하라.
꼭짓점에서 모든 것이 결정된다
제한 없는 범위에서는 — 꼭짓점이 곧 극값.
제한 범위에서는 — 꼭짓점이 범위 안에 있는지 본 뒤 양 끝점과 비교.
다음 차시에서 이 도구를 실생활 문제(면적의 최대, 매출 극대화, 자유낙하 최고점)에 적용한다.